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编者按：
1、越是把实践中得出的方法手段机械打碎成抽象的符号，越是能在自洽与合理（合乎实践）中选择唯心主义的前者，这是因为所有命题的正确与否都存在于三段论的大前提中，而非其中的论证中。如果承认了大前提（实践）的客观存在，但不用辩证法去分析，那么实践就会无法认识清楚，最终就会导致模糊实践的客观存在乃至否定，机械唯物主义走向反面成为唯心主义。这与机会主义者的胡搅蛮缠是一致的，最具有迷惑性的正确的废话便是从模糊了实践本身来强调论证的正确性来招摇撞骗的，革命者在识破这些废话时，不坚持唯物辩证法看到实践本身对立统一的规律，不在形式上的正确中找到背后的政治隐瞒部分，就得付出血的代价让无限的实践教育组织。革命者认清楚理论中的形式逻辑和辩证逻辑的作用，可以避免很多不必要的牺牲。
2、文章没有局限于“超凡脱俗、怡然自得”的学理性的分析，而是在文末给出了自己的立场，即再一次分析论证“力量与真理”的辩证关系，把文章的讨论与当下是走“脱离地下革命家组织建设的小组阶段、大搞宣传，还是在同小组习气的斗争中建立起成熟的革命家组织”的两条路线的斗争上来，这样的思辨过程是值得读者同志学习的。
3、哥德尔不完备定理的证明，更多的反映出来的是资产阶级形式逻辑的有限和物质规律的无限这个矛盾。并且哥德尔不完备定理自身也存在着这种问题，有着自身问题的局限性，这也是需要被扬弃的，而文中没有指出这一点，需要注意。另外，本文还提及了“公理”这个概念，这个概念实际上是资产阶级的伪概念，这反映出来的是一种唯心主义的先验论的说法，在这样一个世界观当中，公理当作一种先验的、绝对的说法，是一切的起源，这就同唯物主义的反映论相违背了。正如列宁所说：“任何关于物质构造及其特性的科学原理都具有近似的、相对的性质；自然界中没有绝对的界限；运动着的物质会从一种状态转化为在我们看来似乎和它不可调和的另一种状态。”
序言
马克思和恩格斯曾经说过：“至今一切社会的历史都是阶级斗争的历史。”（《共产党宣言》）因此，数学这个在人类社会当中诞生的学科，对于其的研究当然也是反映着社会的阶级斗争的。恩格斯曾说过：“不管自然科学家采取什么样的态度，他们还是得受哲学的支配。”（《自然辩证法》）因此，不同的阶级反映着不同的哲学，受到不同的哲学支配，所以，一整个数学史就是一场波澜壮阔的阶级斗争史，一整个数学史即是数学当中两条路线——数学唯心论和唯物论之间斗争的历史，是坚持真理的希帕索斯和反动的毕达哥拉斯学派之间斗争的历史。从杀死希帕索斯的毕达哥拉斯学派，藏匿三次方程的尼科斯出发，再到迫害罗巴切夫斯基的欧几里得拥护者们。这些触目惊心的等等事实，都表明了数学史的斗争本质，都反映出了社会发展的阶级斗争的现实。
那么，笔者写这篇文章的目的也就此诞生了，也就是为了站在数学唯物论的角度，来对数学唯心论进行揭露和批判。那么，废话不多说，让我们开始我们的叙述吧！
希尔伯特纲领与哥德尔不完备定理的证明
资产阶级的意识形态总是充斥着各种各样的唯心主义——尼采哲学、不可知论、虚无主义等。这些思想的来源同资本主义的生产是密不可分的。资产阶级在资本主义社会下，是必将走向灭亡的。但是他们又是不愿意走向灭亡的，对此就必然诞生出各式各样的唯心主义思想来。而对于学术领域，社会科学自不必说，其中处处掺杂着资产阶级意识形态的牛鬼蛇神。而在自然科学领域，也同样是反映出了其相应的唯心主义意识形态。希尔伯特之所以提出的所谓的希尔伯特纲领的实质便是如此，下面我们就来看看希尔伯特纲领是什么：
希尔伯特纲领即是：一切的数学理论都具备以下的四种性质，即完备性、一致性、保守性和确定性。而这四个性质用文字表达出来就是：
完备性：我们必须证明以下命题：在形式化之后，数学里所有的真命题都可以被证明（根据上述规则）。
一致性：我们必须证明：运用这一套形式化和它的规则，不可能推导出矛盾。
保守性：我们需要证明：如果某个关于“实际物”的结论用到了“假想物”（如不可数集合）来证明，那么不用“假想物”的话我们依然可以证明同样的结论。
确定性：应该有一个算法，来确定每一个形式化的命题是真命题还是假命题。
从我们上述所引用出的希尔伯特纲领的四大性质中，就可以明显地看出，希尔伯特思想中的唯心主义先验论的本质。完备性这个概念表现出了一种“一切的事物都可以从脑中的头脑风暴得来”，换一种说法也就是唯心主义先验论的那种“真理藏在人的脑袋之中，只等待人类思考去发现”。同样的，剩余的三种性质实际上也证明出了希尔伯特的这样一种思想的本质。
然而，一切的真理都不是从所谓的“脑中风暴”得来的，而是从社会实践中得来的。正如毛主席所说：“只有人们的社会实践，才是人们对于外界认识的真理性的标准。实际的情形是这样的，只有在社会实践过程中（物质生产过程中，阶级斗争过程中，科学实验过程中），人们达到了思想中所预想的结果时，人们的认识才被证实了。”（《实践论》）没有社会实践，存粹的脑子里打转转，是无法得出真理的，这一点从数学史中的诸多事实可以看出来：为什么高斯等人能够发现欧几里得第五公设（一切平行的直线无法相交）的不足，并且创造出非欧几何呢？那是因为当时对于大地测量学的社会实践使高斯发现三角形内角和和不一定等于180°（三角形内角和等于180°这一结论，是从欧几里得第五公设中推导得出的）。
一切的唯心主义的结论都是必然导向一个错误的结局的，希尔伯特纲领自然也不例外，于是乎他很快迎来了被哥德尔不完备定理证伪的结局。
下面，就让我来为大家证明这一伟大的定理，以及为什么它能够证伪希尔伯特纲领的原因，以下内容可能有些繁琐难懂，建议对数学没有相关兴趣和对数学理论没有一定的理解的同志们直接跳过该节（注：不阅读本证明过程并不影响对于全文的阅读，感兴趣的同志们对此可以自行详细阅读）。
哥德尔不完备定理的证明：对于哥德尔不完备定理的证明，一般来说是比较复杂的，对于没有什么数学基础的人来说，可能是比较难以理解的，所以我尽量讲的稍微通俗一点，以保证大多数的同志们都能搞懂这个证明。下面，我将开始我的证明。
我们首先将数学当中的基础符号化一个个哥德尔数（这里就不一一列举了，考虑到部分对于相关数学定义没有了解的同志，此处就随便举一两个，比如说将等于号化为5，将0化为6，将后继（一个数的后继数指紧接在这个数后面的数 ，例如0的后继数是1，1的后继数是2）化为7，将加法化为11等等）
然后我们如何利用哥德尔数表达一个个命题呢？这就需要用到一个个质数，将一个个质数按顺序写出来，然后将哥德尔数当作它们的指数位置再相乘（比如0+0=0这个命题用哥德尔数表达就是2^6×3^11×5^6×7^5×11^6的算术结果。）而通过质因数分解，我们就可以将一个个哥德尔数重新转化为一个个原命题。
我们再定义一个函数sub，它的定义是：sub（a，b，c）就是取一个哥德尔数为一个a的命题，找到这个哥德尔数为c的符号的位置，然后将它替换为数字b。
以上是关于我们本次证明的一些前置的知识，接下来是具体的证明过程。我们假设一个命题为“无法证明哥德尔数是sub（x，x，y）的命题”也就是说也就是在这个哥德尔数为x的命题当中，找到y这个符号的位置，并将其替换为x这个数。
然后，我们将以上这个命题的哥德尔数定义为z，紧接着我们再假设一个命题为“无法证明哥德尔数是sub（z，z，y）的命题”而sub（z，z，y）的运算也就是从sub（x，x，y）这个命题找到所有哥德尔数为y的位置，也就是x的位置，将它替换为z。这样下来，这个命题就变为了“无法证明哥德尔数是sub（z，z，y）的命题”。
故，最后我们可以知道，“无法证明哥德尔数是sub（z，z，y）的命题”的哥德尔数正好是sub（z，z，y）。因此，这个命题说的就是自己是自己无法证明的。
之后，我们再来确定一下“无法证明哥德尔数是sub（z，z，y）的命题”是真命题还是假命题。我们用反证法来进行证明。先假设它是一个假命题，那么就说明该它的反面“可以证明sub（z，z，y）的命题”，那既然“哥德尔数是sub（z，z，y）”的命题都可以被证明了，所以说哥德尔数为sub（z，z，y）的命题是一个真命题，但是sub（z，z，y）这个命题又是“无法证明哥德尔数是sub（z，z，y）的命题”。所以说这个命题反而是一个真命题了，因此陷入了矛盾。所以“无法证明哥德尔数是sub（z，z，y）的命题”这个命题是真命题。因此这样一个命题是一个真命题但是同时又无法被证明。这就彻底证伪了希尔伯特纲领当中的完备性这一性质。因此，我想看到这里的各位同志，应该知道为什么这个定理被称为哥德尔不完备定理了吧。
Perfect！这项证明非常完美的证明了希尔伯特纲领的破产以及以希尔伯特为代表的先验论哲学的破产，表明了这样一种思想永远只是自己转圈圈、打转转，是无法认识到真正的真理为何面貌的反动哲学思想。这算是一场伟大的胜利，但是它只是一场局限于理论上的局部胜利，数学唯心主义依然在发挥着它的作用。这是不难理解的，因为我们现在的社会还处于资产阶级专政的资本主义社会，行将就木的资产阶级们所拥抱和宣扬出来的也是一种唯心主义的思想（这里可能有的人要反驳我，说资产阶级下存在着唯物主义思想。的确如此，是有部分的资产阶级信仰唯物主义，资本主义下也的确存在部分唯物主义的哲学家，但都不是彻底的唯物主义，而是一种形而上学的机械唯物主义，在向社会主义革命斗争的今天，它们已然和唯心主义在实质上不存在什么太大的区别了，因此也可以将它们视作一种唯心主义思想）。先验论失败了，换一个就是了，反正只要这片土壤不变，它们可以不断地灵活的表达自己的立场和思想。这和当今的一些机会主义者一样，丝毫没有任何的原则可言，一切皆为了自己的投机的真面目。也正是因此，资产阶级们非常大方的接受了哥德尔的证伪，并且将其说成是所谓的“不可知论的胜利”，说成是“真理不存在了”！
我们马列毛主义者自然知道这样一种不可知论的思想的反动性和错误性之所在，但是只是知道是不够的，还需要将这种反动思想的反动本质揭露出来。
不可知论的胜利还是辩证法的胜利
当哥德尔不完备定理被证明出来，并将希尔伯特的这种先验论的思想给彻底证伪了之后。资产阶级的学者们，又开始鼓吹起了一种新的唯心主义思想，他们说什么：“真理不存在了！”“人类无法认识到真理，所以上帝是存在的！”，针对这种庸俗的论调，我只能是一笑而过之。他们之所以会有这样的思想，同他们唯心主义实质是脱不开干系的，正如我在前言中所引用的恩格斯的那句话所说：“不管自然科学家采取什么样的态度，他们还是得受哲学的支配。”资产阶级的学者正是收到了他们的资产阶级意识的影响，正是受到了资产阶级的唯心主义的支配，他们就产生了这样一种意识，这样一种关于所谓“真理不存在”的不可知论的思想。然而，哥德尔不完备定理的证实，代表着不可知论的胜利吗？那当然不是！
希尔伯特纲领的出发点在于从奴隶社会至今的资产阶级数学界长期存在的一种名为所谓“公理演绎体系”的思想，即一切的数学定理都可以通过所谓的公理进行理性思维后，演绎论证出来。但是这些公理是怎么来的呢？数学家们定义说：“没有经过证明，但被当作不证自明的一个命题。因此，其真实性被视为是理所当然的，且被当做演绎及推论其他（理论相关）事实的起点。”那么，这样就出现了一个问题，公理是怎么来的呢？有人说是什么“人类思维来的”，这种思想就是一种典型的希尔伯特式的先验论思想，这种思想早已被哥德尔所证伪，要不然也不会诞生这样一种不可知论的思想。既然如此，答案是什么呢？答案就是公理的来源是人的社会实践，是从人类在不断的生产实践和科学实验当中发现的科学真理！因此，哥德尔不完备定理的证明，并不是代表着所谓的“人类理性的局限”，或是什么“不可知论的胜利”，而是代表着唯心主义先验论的破产，代表着唯物主义辩证法的胜利！
比如说为什么1+1=2？不是因为什么皮亚诺公理的所谓的1的后继数是2的定义，而是因为人类的不断的生产实践而产生了对于计数和加减的认识，有句话说得好：“在人类社会的初期，就已经出现了计数，并由于这种计数的产生，人类社会出现了对于数字的概念……数字是不能单独存在的，他必须要有算术，于是出现了加和减。”（《数学中的辩证法（一） ——数与形》）因此，公理诞生的关键即在于人类的生产实践，证明1+2的，不是陈景润，而是千千万万的劳动人民；定义1+1=2的，也不是皮亚诺，而是千千万万的劳动人民的生产实践！
那么，人类关于数学公理的观念是如何而来的呢？这就是一个辩证法的认识过程。人产生认识是从社会实践来的，没有社会实践人永远都是无知的存在。然后经由一次社会实践产生一种感性认识，不过，这样一种感性认识不够的、是片面的，不深入本质的。因此还需要进一步的实践，经由不断地实践，这样一种感性认识飞跃，产生了理性认识，也就产生了对于一个事物的概念，对于一个个公理的认识也就此产生了。正是因此，哥德尔不完备定理才是正确的，而不是因为什么“人类思想的局限”。因为没有社会实践，人类的所有思维，只是站在原地转圈圈、打转转，康德的自在之物思想也就真的成真了。但是，人类毕竟不是计算机，人类是可以经由社会实践认识到这些个“自在之物”的存在，并将其化作“为我之物”的。正如恩格斯所说：“动植物体内所产生的化学物质，在有机化学把它们一一制造出来以前，一直是这种‘自在之物’；当有机化学开始把它们制造出来时，‘自在之物’就变成为我之物了……”（《路德维希·费尔巴哈与德国古典哲学的终结》）
而当我们认识到了这个公理的正确性，就是利用这个公理进行进一步的推理和论证，证明出来一个个的定理，这些定理的最终目的当然也是为了社会实践、科学实验而服务的。就比如四元数帮助人们总结出麦克斯韦方程组，黎曼几何是广义相对论的基础数学工具，蒙日的画法几何对机械制图的帮助等事例。如果像机会主义者的“小组阶段论”的思想那样走的话，岂不是我们要重新回到原始社会，重新证明一遍1+1=2吗？我们既然已经都认识到了指数和对数、积分和微分、向量与张量了，重新再走一遍数学史的历程，那不就像你已经是一个人了，但还想着确认一遍自己是如何从一个猴子进化成为一个人的，于是重新上树一般滑稽吗？因此，既然我们已经走向了新的阶段，那就得把过去的弯路撇过去了，已经翻篇了！
既然我们已经证明了哥德尔不完备定理证明的不是不可知论的胜利，而是辩证法的胜利。那么，我们应当要追本溯源，搞清楚为什么资产阶级学者们会有如此之不可知论的思想。而我想恩格斯对于休谟、康德等不可知论者评价一句话，能够很好的揭示出这样一件事件的根本原因：“这种企图在科学上就是开倒车，而在实践上只是一种暗中接受唯物主义而当众又加以拒绝的羞羞答答的做法。”（同上）资产阶级学者们的不可知论思想，正是如此之一种思想，正是因为哥德尔不完备定理证明了他们原有的保守残缺的先验论的破产，他们又因为自身的阶级局限不愿意接受唯物主义的思想，所以只能导致这种“认为一切的真理”都已然不存在的不可知论的思想。他们这种思想能够盛行，自然是因为现在的天下是资本主义的天下，他们的背后有着资产阶级的暴力机器为他们撑腰，所以他们的思想才能够“自由飞翔”，而无产阶级无权，所以他们才不能够发声，来阻止这样一种反动思想的纵横。同样的，为什么这样的反动思想能够在中国互联网上盛行呢？那就是因为中国在自1976年怀仁堂政变以来，就是一个彻头彻尾的资产阶级专政的帝国主义国家了，他们能够让这样的反动思想纵横自然是不让人意外的，因为这很符合这帮官僚资产阶级老爷们的思想。但是，无产阶级专政下的社会主义国家，是绝不允许这样的反动思想得以纵横下去的，就像毛主席所说：“我们的制度就是不许一切反革命分子有言论自由，而只许人民内部有这种自由。”（《驳“舆论一律”》）这些反动的思想就是反革命的唯心主义理论，因此就必须要对其进行专政，要剥夺散播这些反动言论的人的言论自由。
结语
数学中的确存在着两条路线的斗争，而这两条路线的斗争即是代表着真理的“希帕索斯”和代表着反动的谬论的“毕达哥拉斯”之间的斗争。那么，“希帕索斯”是如何战胜“毕达哥拉斯”的呢？有的人说，是因为“真理必将胜利”，我不否认，这的确是正确的，但也仅限于正确，但是，具体是如何胜利的呢？对此，提出这一论调的人就只能支支吾吾的了。而有的人也许是懂得的，所以他们对此回答道，是因为“真理说服人，说服过了谬论，让所有人都相信了，它就成了真理了”。首先对此言论的唯心主义实质先按表不谈，先单开来问一个问题，事实真是如此吗？
的确，真理的确是能说服人的，这是毋庸置疑的，但是真理能够说服的人仅仅是一部分，而一部分人本来就是站在站在谬论那一边的积极分子，这样的力量明显不足以同谬论相对抗，并战胜它，想要战胜谬论，必须要争取到广大的人民群众，而这，就需要力量，就需要代表着真理的力量。因此，真正能够战胜谬论，使真理成为真理的，从来不是依靠所谓的说服使人相信，而是依靠力量。如果仅靠说服就能战胜谬论的话，那么，教会何以让地球成为宇宙中心，资产阶级又怎么让庸俗经济学成为真理呢？如果仅靠说服就能够让真理胜利，那么这些谬论为什么会变成个当时人们口中的“真理”呢？因此，仅仅依靠说服是无法战胜谬论的，能够战胜谬论的，只是化作力量的真理，也就是依靠力量，才能够战胜谬论，真理才得以成为真理。也只有当这些主张谬误的力量，被真理的力量所打败，真理才得以真正说服于人。宇宙的中心之所以不是地球，是因为代表着地球是宇宙中心的教会的封建力量被资产阶级所打倒；同样的，政治经济学之所以是真理，是因为无产阶级革命战胜了资产阶级，确立了无产阶级专政。
是“真理说服人”还是“力量说服人”，这个问题不仅停留在数学的学理问题上，还同时能够上升到马列毛主义的革命的两条路线的斗争当中去。机会主义者总是说什么是“真理说服人”，这实际上就是一句空洞的正确的废话，真理是怎么说服人的呢？他们说就是“说服”啊！于是乎，他们一个个搞起了宣传论，纷纷在中修眼皮子底下的地上搞起了自己的宣传活动，以为能够“启发民智”，然后中修的统治就被瓦解了。然而事实却并不如他们那般所愿，如果宣传真的有用的话，那么空想社会主义早就实现了，他们的目的就是大搞宣传，就认为社会就将改变，人类就将走向共产主义。然而事实也证明了这样一条路线的破产，欧文的新和谐公社走向了崩溃，人类直到21世纪也没有实现共产主义。因此，这样一条路线是完全无法导向革命的胜利的，真正能够让真理说服人的东西是什么呢？答案就是力量，是力量说服人，而不是真理说服人。而力量是如何展现出来的呢，那就是依靠组织，依靠一个革命的坚持无产阶级纪律的马列毛主义的组织。没有这个组织，任何的马列毛主义的真理都是空洞的字句，没有一个物质化的力量来将其表达和展现出来。这便是机会主义路线和空想社会主义之所以无法走向胜利的关键原因之所在，也是布尔什维克和中共之所以能够走向革命胜利的原因之所在。
所以，想让数学唯物主义彻底战胜数学唯心主义，关键不是在于所谓的学理主义式的辩论，这是空洞的，也是不触及根本的，资产阶级当然能够容许你随便宣传。真正的关键在于先锋队领导的自觉的暴力斗争，只有这样改变这一片土壤。既然反动派能够利用专政的力量不可知论、唯心主义先验论之类的谬论成为“真理”，那我们也能够利用无产阶级专政的力量，让辩证法、唯物主义成为真理！
